Упр.933(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Задача

1) представьте один из двучленов, заключённых в скобки, в виде суммы или разности двух других, например: х — z = (х — у) + (у — z), а затем примените группировку;
2) раскройте скобки в первых двух слагаемых, а затем сгруппируйте члены так, чтобы получился общий множитель:
а) ху(х — у) — xz(x — z) + yz(y — z);
б) x2(y — z) + y2(z — x) + z2(x — y).

Подробный ответ

а)
$$xy(x-y)-xz(x-z)+yz(y-z)$$
$$=xy(x-y)-xz(x-y)-xz(y-z)+yz(y-z)$$
$$=(x-y)(xy-xz)-(y-z)(xz-yz)$$
$$=x(x-y)(y-z)-z(z-y)(x-y)$$
$$=(x-y)(y-z)(x-z).$$
Второй способ:
$$xy(x-y)-xz(x-z)+yz(y-z)$$
$$=x^2y-xy^2-x^2z+xz^2+y^2z-yz^2$$
$$=(x^2y-xy^2)-(x^2z-y^2z)+(xz^2-yz^2)$$
$$=xy(x-y)-z(x^2-y^2)+z^2(x-y)$$
$$=xy(x-y)-z(x-y)(x+y)+z^2(x-y)$$
$$=(x-y)\bigl(xy-z(x+y)+z^2\bigr)$$
$$=(x-y)\bigl(xy-xz-yz+z^2\bigr)$$
$$=(x-y)(y-z)(x-z).$$
б)
$$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$$
$$=x^2(y-z)-y^2(x-z)+z^2(x-y)$$
$$=x^2(y-z)-y^2(x-y)-y^2(y-z)+z^2(x-y)$$
$$=(y-z)(x^2-y^2)-(x-y)(y^2-z^2)$$
$$=(y-z)(x-y)(x+y)-(x-y)(y-z)(y+z)$$
$$=(x-y)(y-z)(x+y-y-z)$$
$$=(x-y)(y-z)(x-z).$$
Второй способ:
$$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$$
$$=x^2y-x^2z+y^2z-xy^2+xz^2-yz^2$$
$$=(x^2y-xy^2)-(x^2z-y^2z)+(xz^2-yz^2)$$
$$=xy(x-y)-z(x^2-y^2)+z^2(x-y)$$
$$=xy(x-y)-z(x-y)(x+y)+z^2(x-y)$$
$$=(x-y)\bigl(xy-z(x+y)+z^2\bigr)$$
$$=(x-y)\bigl(xy-xz-yz+z^2\bigr)$$
$$=(x-y)(y-z)(x-z).$$