Упр.865(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

865 Докажите, что:
а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;
б) разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.
Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$.

Тогда разность их квадратов равна:

$$ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. $$

Сумма этих чисел:

$$ n+(n+1)=2n+1. $$

Значит, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

Проверим на примере $$n=3$$:

$$ 4^2-3^2=16-9=7, $$

$$ 3+4=7. $$

Получаем $$7=7$$.

б) Пусть два последовательных чётных числа — это $$2n$$ и $$2n+2$$.

Тогда разность их квадратов равна:

$$ (2n+2)^2-(2n)^2=4n^2+8n+4-4n^2=8n+4. $$

Удвоенная сумма этих чисел:

$$ 2\bigl(2n+(2n+2)\bigr)=2(4n+2)=8n+4. $$

Следовательно, разность квадратов двух последовательных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.

Проверим на примере $$n=5$$:

$$ 12^2-10^2=144-100=44, $$

$$ 2(10+12)=2\cdot 22=44. $$

Получаем $$44=44$$.

Ответ

а) $$ (n+1)^2-n^2=n+(n+1) $$; б) $$ (2n+2)^2-(2n)^2=2\bigl(2n+(2n+2)\bigr) $$.