Упр.7.89 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Исследуем

1. Докажите, что:
   а) $$\frac{x^{16}-y^{16}}{x-y}=(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8);$$
   б) $$\frac{x^{64}-y^{64}}{x-y}=(x+y)(x^2+y^2)\ldots(x^{32}+y^{32}).$$
2. Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $$\frac{x^8-y^8}{x-y}$$? $$\frac{x^{10}-y^{10}}{x-y}$$?
3. Сократите дробь $$\frac{x^{2^{10}}-y^{2^{10}}}{x-y}$$.

1) Используем формулу разности степеней:

$$a^{2n}-b^{2n}=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)\cdots(a^{2n-1}+b^{2n-1}).$$

Тогда

$$\frac{x^{16}-y^{16}}{x-y} =\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)}{x-y} =(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8).$$

Аналогично

$$\frac{x^{64}-y^{64}}{x-y} =(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32}).$$

2) Замечаем закономерность: дробь $$\frac{x^n-y^n}{x-y}$$ можно сократить, если показатель $$n$$ — степень числа 2.

Поэтому

$$\frac{x^8-y^8}{x-y} =(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$$

можно сократить, а

$$\frac{x^{10}-y^{10}}{x-y}$$

нельзя, так как число $$10$$ не является степенью числа $$2$$.

3) Для $$n=10$$ получаем:

$$\frac{x^{2^{10}}-y^{2^{10}}}{x-y} =(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdots(x^{2^9}+y^{2^9}).$$

Ответ

1) $$\frac{x^{16}-y^{16}}{x-y}=(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$$,

$$\frac{x^{64}-y^{64}}{x-y}=(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32}).$$

2) Сократить можно, если показатель — степень числа 2; $$\frac{x^8-y^8}{x-y}$$ можно, $$\frac{x^{10}-y^{10}}{x-y}$$ нельзя.

3) $$\frac{x^{2^{10}}-y^{2^{10}}}{x-y}=(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdots(x^{2^9}+y^{2^9}).$$