Упр.7.88 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

Пусть $$n$$ — любое натуральное число. Тогда

$$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).$$

Получилось произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, их произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.

Следовательно, разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на $$6$$.

Ответ

$$n^3-n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.