Упр.7.87 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Разложите выражение на множители двумя способами: 1) применив формулу разности квадратов; 2) раскрыв скобки и затем применив группировку:

а) $$\left(1+ab\right)^2-\left(a+b\right)^2$$;

б) $$\left(a+2x\right)^2-\left(2+ax\right)^2$$.

1. а)

   1) Используем формулу разности квадратов:

   $$(1+ab)^2-(a+b)^2=\bigl((1+ab)-(a+b)\bigr)\bigl((1+ab)+(a+b)\bigr).$$

   Упростим скобки:

   $$(1+ab-a-b)(1+ab+a+b).$$

   Сгруппируем:

   $$(1-b-a+ab)(1+b+a+ab)=(1-b)(1-a)(1+b)(1+a).$$

   2) Раскроем скобки и затем разложим на множители:

   $$(1+ab)^2-(a+b)^2=1+2ab+a^2b^2-a^2-2ab-b^2.$$

   $$=a^2b^2-a^2+1-b^2=a^2(b^2-1)-(b^2-1).$$

   $$=(b^2-1)(a^2-1)=(b-1)(b+1)(a-1)(a+1).$$

   Итак, в обоих случаях получаем:

   $$(1-b)(1-a)(1+b)(1+a).$$

2. б)

   1) Используем формулу разности квадратов:

   $$(a+2x)^2-(2+ax)^2=\bigl((a+2x)-(2+ax)\bigr)\bigl((a+2x)+(2+ax)\bigr).$$

   $$=(a-2+2x-ax)(a+2+2x+ax).$$

   Вынесем общий множитель:

   $$=(1-x)(a-2)(a+2)(1+x).$$

   2) Раскроем скобки и затем разложим на множители:

   $$(a+2x)^2-(2+ax)^2=a^2+4ax+4x^2-4-4ax-a^2x^2.$$

   $$=a^2-4+4x^2-a^2x^2=(a^2-4)-x^2(a^2-4).$$

   $$=(a^2-4)(1-x^2)=(a-2)(a+2)(1-x)(1+x).$$

Ответ

а) $$(1-b)(1-a)(1+b)(1+a)$$

б) $$(a-2)(a+2)(1-x)(1+x)$$