Упр.7.72 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

1. Выполните умножение:
   а) $$\left(m+1\right)\left(\left(m^2-m+1\right)+3\right)$$;
   б) $$\left(x+1\right)\left(x^2-x+7\right)$$;
   в) $$\left(a+b\right)\left(a^2-3ab+b^2\right)$$;
   г) $$\left(p-q\right)\left(p^2+3pq+q^2\right)$$.

а) Преобразуем второй множитель:

$$(m+1)(m^2-m+1+3)=(m+1)(m^2-m+1)+3(m+1)$$

$$(m+1)(m^2-m+1)=m^3+1$$

Тогда

$$m^3+1+3m+3=m^3+3m+4.$$

б) Аналогично:

$$(x+1)(x^2-x+7)=(x+1)(x^2-x+1)+6(x+1)$$

$$(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$$

Следовательно,

$$x^3+1+6x+6=x^3+6x+7.$$

в) Представим второй множитель так:

$$a^2-3ab+b^2=(a^2-ab+b^2)-2ab$$

Тогда

$$(a+b)(a^2-3ab+b^2)=(a+b)(a^2-ab+b^2)-2ab(a+b)$$

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$$

Значит,

$$a^3+b^3-2ab(a+b)=a^3+b^3-2a^2b-2ab^2.$$

г) Используем разложение:

$$p^2+3pq+q^2=(p^2+pq+q^2)+2pq$$

Тогда

$$(p-q)(p^2+3pq+q^2)=(p-q)(p^2+pq+q^2)+2pq(p-q)$$

$$(p-q)(p^2+pq+q^2)=p^3-q^3$$

Следовательно,

$$p^3-q^3+2pq(p-q)=p^3-q^3+2p^2q-2pq^2.$$

Ответ

а) $$m^3+3m+4$$; б) $$x^3+6x+7$$; в) $$a^3+b^3-2a^2b-2ab^2$$; г) $$p^3-q^3+2p^2q-2pq^2$$.