Упр.7.55 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

а) если из квадрата натурального числа вычесть квадрат предыдущего натурального числа, то получится сумма этих чисел;
б) если из квадрата чётного числа вычесть квадрат предыдущего чётного натурального числа, то получится удвоенная сумма этих чисел.
Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.

а) Пусть $$a$$ — данное натуральное число, тогда предыдущее число равно $$a-1$$.

Рассмотрим разность квадратов:

$$ a^2-(a-1)^2=(a-(a-1))(a+(a-1)) $$

$$ =(1)(2a-1)=2a-1 $$

С другой стороны, сумма этих чисел:

$$ a+(a-1)=2a-1 $$

Значит, $$a^2-(a-1)^2=a+(a-1)$$, что и требовалось доказать.

Пример: при $$a=10$$ имеем $$9$$ предыдущее число. Тогда

$$ 10^2-9^2=100-81=19, $$

$$ 10+9=19. $$

Следовательно, утверждение верно.

б) Пусть $$a$$ — данное чётное натуральное число, тогда предыдущее чётное натуральное число равно $$a-2$$.

Рассмотрим разность квадратов:

$$ a^2-(a-2)^2=(a-(a-2))(a+(a-2)) $$

$$ =2(2a-2)=4a-4=4(a-1) $$

Сумма этих чисел равна:

$$ a+(a-2)=2a-2 $$

Тогда удвоенная сумма:

$$ 2(a+(a-2))=2(2a-2)=4a-4=4(a-1). $$

Значит, $$a^2-(a-2)^2=2(a+(a-2))$$, что и требовалось доказать.

Пример: при $$a=10$$ предыдущее чётное число равно $$8$$. Тогда

$$ 10^2-8^2=100-64=36, $$

$$ 2(10+8)=2\cdot 18=36. $$

Следовательно, утверждение верно.

Ответ

а) $$a^2-(a-1)^2=a+(a-1)$$; б) $$a^2-(a-2)^2=2(a+(a-2))$$.