Упр.7.25 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)
а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;
б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;
в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.
а) Пусть натуральное число равно $$n$$. Тогда разность между его квадратом и самим числом:
$$n^2-n=n(n-1).$$
Так как среди двух последовательных натуральных чисел $$n$$ и $$n-1$$ одно обязательно чётное, то их произведение чётно. Значит, $$n^2-n$$ — чётное число.
Пример: при $$n=7$$
$$7^2-7=49-7=42,$$
а $$42$$ — чётное число.
б) Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа $$2$$:
$$2^n+2^{n+1}=2^n(1+2)=2^n\cdot 3.$$
При $$n\ge 1$$ число $$2^n$$ делится на $$2$$, значит произведение $$2^n\cdot 3$$ делится на $$2\cdot 3=6$$. Следовательно, сумма делится на $$6$$.
Пример: при $$n=3$$
$$2^3+2^4=8+16=24,$$
а $$24$$ делится на $$6$$.
в) Пусть дано натуральное число $$x$$. Тогда сумма двух последовательных степеней:
$$x^n+x^{n+1}=x^n(1+x).$$
Число $$1+x$$ делится на следующее за $$x$$ число, то есть на $$x+1$$, потому что
$$1+x=x+1.$$
Значит, сумма $$x^n+x^{n+1}$$ делится на $$x+1$$.
Пример: при $$x=3$$ и $$n=2$$
$$3^2+3^3=9+27=36=3^2\cdot 4,$$
а $$4$$ — следующее за $$3$$ число, и $$36$$ делится на $$4$$.
Ответ
а) $$n^2-n=n(n-1)$$ — чётное число; б) $$2^n+2^{n+1}=2^n\cdot 3$$ делится на $$6$$; в) $$x^n+x^{n+1}=x^n(x+1)$$ делится на $$x+1$$.
