Упр.633(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 7 класс, Просвещение: Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?

Всего десятизначных чисел:

$$9 \cdot 10^9 = 9\,000\,000\,000.$$

Посчитаем, сколько среди них чисел, в записи которых все цифры различны. Первая цифра может быть любой, кроме нуля, то есть $$9$$ вариантов. Далее выбираем цифры без повторений:

$$9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 9 \cdot 9!.$$

Тогда число десятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы две одинаковые цифры, равно

$$9 \cdot 10^9 — 9 \cdot 9!.$$

Ответ

$$9 \cdot 10^9 — 9 \cdot 9!$$