Упр.6.57 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до $$n$$ можно вычислить по формуле $$1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{1}{6}n+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n^3$$. Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для:

• а) $$n=10$$;
• б) $$n=50$$.

Используем формулу суммы квадратов натуральных чисел от 1 до $$n$$:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac16n+\frac12n^2+\frac13n^3.$$

а) При $$n=10$$ получаем:

$$\frac16\cdot 10+\frac12\cdot 10^2+\frac13\cdot 10^3=\frac{10}{6}+50+\frac{1000}{3}.$$

$$\frac{10}{6}=\frac53,\quad \frac{1000}{3}=333\frac13,$$

значит

$$\frac53+50+333\frac13=385.$$

б) При $$n=50$$:

$$\frac16\cdot 50+\frac12\cdot 50^2+\frac13\cdot 50^3=\frac{50}{6}+1250+\frac{125000}{3}.$$

$$\frac{50}{6}=8\frac13,\quad \frac{125000}{3}=41666\frac23,$$

тогда

$$8\frac13+1250+41666\frac23=42925.$$

Ответ

а) $$385$$; б) $$42925$$.