Упр.6.42 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Задача

1) Сколько получилось единичных кубиков?
2) Сколько кубиков, у которых покрашено три грани?
3) Сколько кубиков, у которых покрашено две грани?
4) Сколько кубиков, у которых покрашена одна грань?
5) Сколько получилось непокрашенных кубиков?
Длина стороны, ед.
3
4
5
6
…
n
Число единичных кубиков
Число кубиков, у которых
покрашено 3 грани
покрашено 2 грани
покрашена 1 грань
нет покрашенных граней

Подробный ответ

Если ребро куба равно $$n$$, то после разрезания на единичные кубики получится всего $$n^3$$ кубиков.

Кубики с покрашенными гранями располагаются так:

в вершинах куба — по $$1$$ кубику с покрашенными $$3$$ гранями, всего $$8$$;
на рёбрах, но не в вершинах — по $$n-2$$ кубиков на каждом ребре, рёбер $$12$$, значит, таких кубиков $$12(n-2)$$;
на гранях, но не на рёбрах — на каждой грани $$ (n-2)^2 $$ кубиков, граней $$6$$, значит, таких кубиков $$6(n-2)^2$$;
внутри куба — $$ (n-2)^3 $$ кубиков без покрашенных граней.

Для случаев $$n=3,4,5,6$$ подставляем значения в полученные формулы.

Длина стороны	Число единичных кубиков	Покрашено 3 грани	Покрашено 2 грани	Покрашена 1 грань	Нет покрашенных граней
3	$$27$$	$$8$$	$$12$$	$$6$$	$$1$$
4	$$64$$	$$8$$	$$24$$	$$24$$	$$8$$
5	$$125$$	$$8$$	$$36$$	$$54$$	$$27$$
6	$$216$$	$$8$$	$$48$$	$$96$$	$$64$$
$$n$$	$$n^3$$	$$8$$	$$12(n-2)$$	$$6(n-2)^2$$	$$ (n-2)^3 $$