Упр.6.198 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

б) Докажите, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

а) Если число не делится на 5, то оно при делении на 5 даёт остаток 1, 2, 3 или 4. Значит, его можно представить в виде $$5k+1,$$ $$5k+2,$$ $$5k+3$$ или $$5k+4.$$

Рассмотрим все случаи:

$$ (5k+1)^2=25k^2+10k+1=5(5k^2+2k)+1, $$
значит, квадрат числа, уменьшенный на 1, делится на 5.

$$ (5k+2)^2=25k^2+20k+4=5(5k^2+4k)+4, $$
значит, квадрат числа, увеличенный на 1, делится на 5.

$$ (5k+3)^2=25k^2+30k+9=5(5k^2+6k+1)+4, $$
значит, квадрат числа, увеличенный на 1, делится на 5.

$$ (5k+4)^2=25k^2+40k+16=5(5k^2+8k+3)+1, $$
значит, квадрат числа, уменьшенный на 1, делится на 5.

Итак, если число не делится на 5, то его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 5.

б) Пусть дано нечётное число $$2n+1.$$ Тогда

$$ (2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1. $$

Произведение $$n(n+1)$$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел, поэтому одно из них чётное. Значит, $$n(n+1)$$ делится на 2, а тогда $$4n(n+1)$$ делится на 8.

Следовательно, квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1.

Ответ

а) Для любого числа, не делящегося на 5, его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1, делится на 5.
б) Квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1.