Упр.6.166 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)
- Используя формулу квадрата двучлена, возведите в квадрат трёхчлен $$a+b+c$$. Указание. Сделайте замену $$a+b=x$$. Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически, изобразив квадрат со стороной $$a+b+c$$.
- С помощью полученной формулы возведите в квадрат: а) $$a-b+c$$; б) $$a-b-c$$.
- По аналогии с формулой, полученной в п. 1, запишите формулу для преобразования в многочлен выражения $$(a+b+c+d)^2$$. Проверьте с помощью умножения, верно ли записанное равенство.
- Пользуясь выведенной формулой, возведите в квадрат $$a+b-c+d$$.
Возведём в квадрат трёхчлен $$a+b+c$$. Сделаем замену $$a+b=x$$. Тогда
$$(a+b+c)^2=(x+c)^2=x^2+2xc+c^2.$$
Возвращаемся к исходным буквам:
$$(a+b+c)^2=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2.$$
Аналогично:
$$(a-b+c)^2=(a-b)^2+2c(a-b)+c^2=a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2.$$
$$(a-b-c)^2=(a-b)^2-2c(a-b)+c^2=a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2.$$
По аналогии получаем формулу:
$$(a+b+c+d)^2=(a+b+c)^2+2d(a+b+c)+d^2.$$
Раскроем скобки:
$$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd.$$
Проверка умножением даёт то же самое равенство.
Тогда
$$(a+b-c+d)^2=(a+b-c)^2+2d(a+b-c)+d^2.$$
Следовательно,
$$(a+b-c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab-2ac+2ad-2bc+2bd-2cd.$$
Ответ
$$(a+b+c)^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2;$$
$$(a-b+c)^2=a^2-2ab+b^2+2ac-2bc+c^2;$$
$$(a-b-c)^2=a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2;$$
$$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd;$$
$$(a+b-c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab-2ac+2ad-2bc+2bd-2cd.$$
