Упр.6.155 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

746 Докажите, что:
а) (а2 + b2)(c2 + d2) = (ас + bd)2 + (ad — bc)2;
б) (р2 + q2)2 = (p2 — q2)2 + (2pq)2;
в) ((a+b2)2 — (a-b)2)/ab = 4;
г) -((a-b)2 — (a+b)2)/4 = ab.

1. а)

   $$\begin{aligned} (a^2+b^2)(c^2+d^2) &= a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2,\\ (ac+bd)^2+(ad-bc)^2 &= a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ &= a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2. \end{aligned}$$
   Следовательно, $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2. $$

2. б)

   $$\begin{aligned} (p^2+q^2)^2 &= p^4+2p^2q^2+q^4,\\ (p^2-q^2)^2+(2pq)^2 &= p^4-2p^2q^2+q^4+4p^2q^2\\ &= p^4+2p^2q^2+q^4. \end{aligned}$$
   Значит, $$ (p^2+q^2)^2=(p^2-q^2)^2+(2pq)^2. $$

3. в)

   $$\begin{aligned} \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab} &= \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{ab}\\ &= \frac{4ab}{ab}=4. \end{aligned}$$

4. г)

   $$\begin{aligned} -\frac{(a-b)^2-(a+b)^2}{4} &= -\frac{a^2-2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)}{4}\\ &= -\frac{-4ab}{4}=ab. \end{aligned}$$

Ответ

а) $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 $$; б) $$ (p^2+q^2)^2=(p^2-q^2)^2+(2pq)^2 $$; в) $$ 4 $$; г) $$ ab $$.