Упр.6.150 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$$. Поясните это равенство с помощью рисунка 7.9.

Раскроем скобки в левой части равенства:

$$(a+b)^2+(a-b)^2$$

$$a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2$$

Слагаемые $$2ab$$ и $$-2ab$$ сокращаются:

$$a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2a^2+2b^2$$

Вынесем общий множитель $$2$$:

$$2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$$

Значит,

$$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2).$$

По рисунку это можно понять так: площадь большого квадрата со стороной $$a+b$$ равна $$a^2+2ab+b^2$$, а площадь центрального квадрата со стороной $$a-b$$ равна $$a^2-2ab+b^2$$. Их сумма равна удвоенной сумме площадей двух квадратов со сторонами $$a$$ и двух квадратов со сторонами $$b$$, то есть $$2(a^2+b^2)$$.

Ответ

$$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2).$$