Упр.6.128 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$ab+bc+ac=0$$, то $$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2$$.

В условии, по-видимому, допущена опечатка: вместо $$ac+bc+ac=0$$ должно быть $$ab+bc+ac=0$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)$$

$$= (a^2-ac-ab+bc)+(b^2-ab-bc+ac)+(c^2-bc-ac+ab)$$

Соберём подобные слагаемые:

$$= a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)$$

Так как $$ab+bc+ac=0$$, то

$$a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2.$$

Следовательно,

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2.$$

Ответ

$$(a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2$$