Упр.6.127 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

718. Докажите, что:
     а) $$(a+b)(a+b+2c)=(a+b)(a+b+c)+ac+bc;$$
     б) $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$$

а) Раскроем скобки в левой части:

$$(a+b)(a+b+2c)= (a+b)(a+b) + 2c(a+b)$$

$$= a^2+2ab+b^2+2ac+2bc$$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$$(a+b)(a+b+c)+ac+bc$$

$$= (a+b)(a+b) + c(a+b) + ac + bc$$

$$= a^2+2ab+b^2+ac+bc+ac+bc$$

$$= a^2+2ab+b^2+2ac+2bc$$

Левая и правая части равны, значит, тождество верно.

б) Раскроем скобки в правой части:

$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$

$$= a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$

$$= a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c + a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc + a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2$$

Сократим противоположные слагаемые:

$$= a^3+b^3+c^3-3abc$$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ

а) $$(a+b)(a+b+2c)=(a+b)(a+b+c)+ac+bc$$

б) $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$$