Упр.6.127 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

718 Докажите, что:
а) (а + b)(a + b + 2с) = (a + b)(a + b + с) + ас + bс;
б) а3 + Ь3 + с3 — 3abc = (а + b + с)(а2 + b2 + с2 — ab — bс — ас).

а) Раскроем скобки в левой части:

$$ (a+b)(a+b+2c)= (a+b)(a+b) + 2c(a+b) $$

$$ = a^2+2ab+b^2+2ac+2bc $$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$$ (a+b)(a+b+c)+ac+bc $$

$$ = (a+b)(a+b) + c(a+b) + ac + bc $$

$$ = a^2+2ab+b^2+ac+bc+ac+bc $$

$$ = a^2+2ab+b^2+2ac+2bc $$

Левая и правая части равны, значит, тождество верно.

б) Раскроем скобки в правой части:

$$ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) $$

$$ = a(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + b(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) + c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) $$

$$ = a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c + a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc + a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2 $$

Сократим противоположные слагаемые:

$$ = a^3+b^3+c^3-3abc $$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ

а) $$ (a+b)(a+b+2c)=(a+b)(a+b+c)+ac+bc $$

б) $$ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) $$