Упр.6.109 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

а) (a+b)/b = (c+d)/d;
б) (a-b)/b = (c-d)/d;
в) (a+c)/(b+d)=a/b.
Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.

Пусть $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$. Тогда по свойству пропорции получаем:

$$ad=bc.$$

а) Докажем, что $$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$.

$$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1,$$

$$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=\frac{c}{d}+1.$$

Так как $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ то

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}.$$

б) Докажем, что $$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$.

$$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{a}{b}-1,$$

$$\frac{c-d}{d}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}=\frac{c}{d}-1.$$

Так как $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},$$ то

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}.$$

в) Докажем, что $$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}.$$

Из условия $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ следует $$ad=bc.$$ Тогда

$$b(a+c)=ab+bc,$$

$$a(b+d)=ab+ad.$$

Так как $$bc=ad,$$ то

$$ab+bc=ab+ad,$$

значит,

$$b(a+c)=a(b+d).$$

Делим обе части на $$b(b+d)$$:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}.$$

Пример. Возьмём $$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}.$$ Тогда:

$$\frac{1+2}{2}=\frac{3+6}{6}=\frac{3}{2},$$

$$\frac{1-2}{2}=\frac{3-6}{6}=-\frac{1}{2},$$

$$\frac{1+3}{2+6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d},\quad \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d},\quad \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}.$$