Упр.6.107 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

а) если a + b + c = 0, тo
a(bc — 1) + b(ac — 1) + c(ab — 1) = 3abc;
б) если ab + ac + bс = 0, to
a(a — b) + b(b — c) + c(c — a) = a2 + b2 + c2.
(be — a)a — (ac — b)b — (ab — c)c = -abc.

а) Пусть $$a+b+c=0.$$ Тогда

$$ a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=abc-a+abc-b+abc-c. $$

Соберём подобные слагаемые:

$$ abc-a+abc-b+abc-c=3abc-(a+b+c). $$

Так как $$a+b+c=0,$$ получаем

$$ 3abc-(a+b+c)=3abc-0=3abc. $$

Значит,

$$ a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=3abc. $$

б) Пусть $$ab+ac+bc=0.$$ Тогда

$$ a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac. $$

Перегруппируем:

$$ a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac=a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc). $$

Так как $$ab+ac+bc=0,$$ имеем

$$ a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2-0=a^2+b^2+c^2. $$

Следовательно,

$$ a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2+b^2+c^2. $$

Ответ

а) $$a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=3abc.$$
б) $$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2+b^2+c^2.$$