Упр.6.107 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) если $$a+b+c=0$$, то $$a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=3abc$$;
   б) если $$ab+ac+bc=0$$, то $$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2+b^2+c^2$$.

а) Пусть $$a+b+c=0.$$ Тогда

$$a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=abc-a+abc-b+abc-c.$$

Соберём подобные слагаемые:

$$abc-a+abc-b+abc-c=3abc-(a+b+c).$$

Так как $$a+b+c=0,$$ получаем

$$3abc-(a+b+c)=3abc-0=3abc.$$

Значит,

$$a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=3abc.$$

б) Пусть $$ab+ac+bc=0.$$ Тогда

$$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac.$$

Перегруппируем:

$$a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac=a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc).$$

Так как $$ab+ac+bc=0,$$ имеем

$$a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2-0=a^2+b^2+c^2.$$

Следовательно,

$$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2+b^2+c^2.$$

Ответ

а) $$a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)=3abc.$$
б) $$a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=a^2+b^2+c^2.$$