Упр.6.106 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Докажите, что:

а) $$a(b-c+d)-b(c-d+a)+c(a+b-d)-d(a+b-c)=0$$;

б) $$xyz(x-1)-xyz(y-1)-xyz(z-1)-xyz=xyz(x-y-z)$$.

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$a(b-c+d)-b(c-d+a)+c(a+b-d)-d(a+b-c)=$$

$$ab-ac+ad-bc+bd-ab+ac+bc-cd-ad-bd+cd.$$

Сгруппируем одинаковые слагаемые:

$$(ab-ab)+(-ac+ac)+(ad-ad)+(-bc+bc)+(bd-bd)+(-cd+cd)=0.$$

Значит,

$$a(b-c+d)-b(c-d+a)+c(a+b-d)-d(a+b-c)=0.$$

б) Раскроем скобки:

$$xyz(x-1)-xyz(y-1)-xyz(z-1)-xyz=$$

$$x^2yz-xyz-xy^2z+xyz-xyz^2+xyz-xyz.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$x^2yz-xy^2z-xyz^2.$$

Вынесем общий множитель $$xyz$$:

$$x^2yz-xy^2z-xyz^2=xyz(x-y-z).$$

Следовательно,

$$xyz(x-1)-xyz(y-1)-xyz(z-1)-xyz=xyz(x-y-z).$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$xyz(x-y-z)$$.