Упр.330(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)
- В последовательности Фибоначчи каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots$$.
а) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой $$a$$, следующее за ним — буквой $$b$$ и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырёх следующих чисел.
б) Докажите, что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на $$4$$.
в) Докажите, что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на $$3$$.
а) Пусть одно из чисел последовательности равно $$a$$, а следующее за ним — $$b$$. Тогда по правилу Фибоначчи:
$$a,\ b,\ a+b,\ a+2b,\ 2a+3b.$$
б) Сумма любых шести последовательных чисел:
$$a+b+(a+b)+(a+2b)+(2a+3b)+(3a+5b).$$
Сложим подобные слагаемые:
$$a+b+a+b+a+2b+2a+3b+3a+5b=8a+12b.$$
Вынесем общий множитель:
$$8a+12b=4(2a+3b).$$
Значит, сумма шести последовательных чисел делится на $$4$$.
в) Сумма любых восьми последовательных чисел:
$$a+b+(a+b)+(a+2b)+(2a+3b)+(3a+5b)+(5a+8b)+(8a+13b).$$
Сложим подобные слагаемые:
$$a+b+a+b+a+2b+2a+3b+3a+5b+5a+8b+8a+13b=21a+33b.$$
Вынесем общий множитель:
$$21a+33b=3(7a+11b).$$
Следовательно, сумма восьми последовательных чисел делится на $$3$$.
Ответ
а) $$a,\ b,\ a+b,\ a+2b,\ 2a+3b$$; б) делится на $$4$$; в) делится на $$3$$.
