Упр.3.65 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

2) Установите закономерность и сформулируйте гипотезу о делимости суммы последовательных натуральных чисел на число слагаемых.
Подсказка. Каждый шаг в п. 1 сначала исследуйте на числовых примерах, а затем обоснуйте свой вывод с помощью букв. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы.

Пусть первое из последовательных натуральных чисел равно $$n$$.

1. Сумма двух последовательных натуральных чисел:

   $$n+(n+1)=2n+1.$$

   Это нечётное число, значит, на $$2$$ не делится.

2. Сумма трёх последовательных натуральных чисел:

   $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1).$$

   Следовательно, сумма делится на $$3$$.

3. Сумма четырёх последовательных натуральных чисел:

   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=2(2n+3).$$

   На $$4$$ эта сумма не делится.

4. Сумма пяти последовательных натуральных чисел:

   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2).$$

   Следовательно, сумма делится на $$5$$.

5. Сумма шести последовательных натуральных чисел:

   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)=6n+15=3(2n+5).$$

   На $$6$$ эта сумма не делится.

Заметим закономерность: сумма $$k$$ последовательных натуральных чисел делится на $$k$$ тогда и только тогда, когда $$k$$ — нечётное число.

Ответ

На $$2$$ и $$4$$ сумма последовательных натуральных чисел не делится, на $$3$$ и $$5$$ делится, на $$6$$ не делится. Гипотеза: сумма $$n$$ последовательных натуральных чисел делится на $$n$$ только при нечётном $$n$$.