Упр.1.81 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 7 класс, Просвещение: Докажите, что числа З^33, З^333 и З^3333 оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 dorofeev7 1-81 715

Найдём остаток показателя степени при делении на $4$:

$$33=4\cdot 8+1,$$
$$333=4\cdot 83+1,$$
$$3333=4\cdot 833+1.$$

Значит, все эти показатели имеют вид $4k+1$. Для степеней числа $3$ это означает, что последняя цифра повторяется с периодом $4$:

$$3^1=3,$$
$$3^2=9,$$
$$3^3=27,$$
$$3^4=81,$$
$$3^5$$ снова оканчивается цифрой $3$.

Следовательно, если показатель имеет вид $4k+1$, то степень числа $3$ оканчивается цифрой $3$. Поэтому числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой — $3$.

Ещё, например, степень $3^9$ тоже оканчивается цифрой $3$, так как $9=4\cdot 2+1$.

Ответ

Все три числа оканчиваются цифрой $3$. Например, той же цифрой оканчивается число $3^9$.