Упр.1.81 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что числа $$3^{33}$$, $$3^{333}$$ и $$3^{3333}$$ оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите ещё какую-нибудь степень числа $$3$$, которая оканчивается той же цифрой.

Найдём остаток показателя степени при делении на $$4$$:

$$33=4\cdot 8+1,$$
$$333=4\cdot 83+1,$$
$$3333=4\cdot 833+1.$$

Значит, все эти показатели имеют вид $$4k+1$$. Для степеней числа $$3$$ это означает, что последняя цифра повторяется с периодом $$4$$:

$$3^1=3,$$
$$3^2=9,$$
$$3^3=27,$$
$$3^4=81,$$
$$3^5$$ снова оканчивается цифрой $$3$$.

Следовательно, если показатель имеет вид $$4k+1$$, то степень числа $$3$$ оканчивается цифрой $$3$$. Поэтому числа $$3^{33}$$, $$3^{333}$$ и $$3^{3333}$$ оканчиваются одной и той же цифрой — $$3$$.

Ещё, например, степень $$3^9$$ тоже оканчивается цифрой $$3$$, так как $$9=4\cdot 2+1$$.

Ответ

Все три числа оканчиваются цифрой $$3$$. Например, той же цифрой оканчивается число $$3^9$$.