Упр.1.80 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Какое из чисел: $$2^{100}$$; $$2^{101}$$; $$2^{102}$$; $$2^{103}$$ — оканчивается той же цифрой, что и число $$2^{10}$$?

Найдём последние цифры степеней числа $$2$$:

$$2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16.$$

Далее последние цифры повторяются с периодом $$4$$:

$$2^5 \to 2,\quad 2^6 \to 4,\quad 2^7 \to 8,\quad 2^8 \to 6.$$

Значит, чтобы узнать последнюю цифру степени, достаточно найти остаток показателя степени при делении на $$4$$.

$$10=4\cdot 2+2,$$

поэтому число $$2^{10}$$ оканчивается так же, как степень с показателем, дающим остаток $$2$$ при делении на $$4$$, то есть цифрой $$4$$.

Проверим данные числа:

$$100=4\cdot 25,$$
$$101=4\cdot 25+1,$$
$$102=4\cdot 25+2,$$
$$103=4\cdot 25+3.$$

Только число $$102$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$, значит, $$2^{102}$$ оканчивается той же цифрой, что и $$2^{10}$$.

Ответ

$$2^{102}$$