Упр.1.79 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 7 класс, Просвещение: Какими цифрами могут оканчиваться степени числа 7? Какой цифрой оканчивается число: 7^40; 7^61; 7^30; 7^23? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 dorofeev7 1-79 715

Подробный ответ

Рассмотрим первые степени числа 7:

$$7^1=7,\quad 7^2=49,\quad 7^3=343,\quad 7^4=2401,\quad 7^5=16807,\quad 7^6=117649.$$

Видно, что последние цифры повторяются по циклу:

$$7,\ 9,\ 3,\ 1.$$

Значит, чтобы найти последнюю цифру степени числа 7, нужно определить остаток от деления показателя степени на 4:

если остаток 1, последняя цифра 7;
если остаток 2, последняя цифра 9;
если остаток 3, последняя цифра 3;
если остаток 0, последняя цифра 1.

Тогда:

$$40=4\cdot 10 \Rightarrow 7^{40}\text{ оканчивается цифрой }1,$$
$$61=4\cdot 15+1 \Rightarrow 7^{61}\text{ оканчивается цифрой }7,$$
$$30=4\cdot 7+2 \Rightarrow 7^{30}\text{ оканчивается цифрой }9,$$
$$23=4\cdot 5+3 \Rightarrow 7^{23}\text{ оканчивается цифрой }3.$$