Упр.1.57 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)

Задача

Исследуем

Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям, как показано на рисунке 1.6. На каждом шаге закрашивается половина незакрашенной части.

Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части. Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке.
Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата, получившейся на десятом шаге; на сотом шаге.
Используйте полученный результат для вычисления значения $$\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+\ldots+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}.$$

Подробный ответ

1) Площадь закрашенной части после каждого шага равна площади всего квадрата $$1$$ м² минус площадь незакрашенной части.

Тогда для следующих квадратов получаем:

$$1-\left(\frac12\right)^3=\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3;$$

$$1-\left(\frac12\right)^4=\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3+\left(\frac12\right)^4;$$

$$1-\left(\frac12\right)^5=\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3+\left(\frac12\right)^4+\left(\frac12\right)^5.$$

2) На десятом шаге:

$$1-\left(\frac12\right)^{10}=\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3+\left(\frac12\right)^4+\left(\frac12\right)^5+\left(\frac12\right)^6+\left(\frac12\right)^7+\left(\frac12\right)^8+\left(\frac12\right)^9+\left(\frac12\right)^{10}.$$

На сотом шаге:

$$1-\left(\frac12\right)^{100}=\frac12+\left(\frac12\right)^2+\cdots+\left(\frac12\right)^{99}+\left(\frac12\right)^{100}.$$

3) Используем полученный результат:

$$\frac12+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^3+\cdots+\left(\frac12\right)^{10}=1-\left(\frac12\right)^{10}=1-\frac1{1024}=\frac{1023}{1024}.$$