Упр.1.10 ГДЗ Дорофеев Суворова 7 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 7 класс, Просвещение: Сколько можно составить различных дробей, отличных от 1, у которых числитель и знаменатель являются простыми числами от 11 до 37? Укажите наименьшее и наибольшее из этих чисел. Определите, сколько из составленных дробей меньше 1/2.
Простые числа от $$11$$ до $$37$$:
$$11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37.$$
Каждое из этих чисел можно взять в числителе и в знаменателе. Всего получится $$8 \cdot 8 = 64$$ дроби.
Но дроби, равные $$1$$, не подходят. Они получаются, когда числитель равен знаменателю. Таких дробей $$8$$.
Значит, различных дробей, отличных от $$1$$, будет:
$$64-8=56.$$
Наименьшая дробь получится при наименьшем числителе и наибольшем знаменателе:
$$\frac{11}{37}.$$
Наибольшая дробь получится при наибольшем числителе и наименьшем знаменателе:
$$\frac{37}{11}.$$
Теперь найдём, сколько дробей меньше $$\frac{1}{2}$$. Для этого нужно, чтобы
$$\frac{a}{b}<\frac{1}{2}, \quad \text{то есть} \quad 2a<b.$$
Переберём возможные числители:
- при $$a=11$$ подходят знаменатели $$23, 29, 31, 37$$ — $$4$$ дроби;
- при $$a=13$$ подходят знаменатели $$29, 31, 37$$ — $$3$$ дроби;
- при $$a=17$$ подходят знаменатели $$37$$ — $$1$$ дробь;
- при $$a\ge 19$$ подходящих знаменателей уже нет.
Итак, дробей меньше $$\frac{1}{2}$$ всего:
$$4+3+1=8.$$
Ответ
$$56$$ дробей; наименьшая $$\frac{11}{37}$$, наибольшая $$\frac{37}{11}$$; меньше $$\frac{1}{2}$$ — $$8$$ дробей.
