Упр.82 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 82. Докажите, что выражение (5х^8 — 7х^3) — (4х^4 — Зх^3 — 5) + (4x^4 + 4х^3 — 3) принимает положительные значения при любых значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

Подробный ответ

Упростим выражение:

$$
(5x^8-7x^3)-(4x^4-3x^3-5)+(4x^4+4x^3-3)
$$

$$
=5x^8-7x^3-4x^4+3x^3+5+4x^4+4x^3-3
$$

$$
=5x^8+2
$$

Так как $$x^8 \ge 0$$ при любых значениях $$x$$, то

$$
5x^8 \ge 0
$$

Следовательно,

$$
5x^8+2 \ge 2
$$

Значит, выражение принимает положительные значения при любых $$x$$. Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

$$
5\cdot 0^8+2=2
$$