Упр.139 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 139. Докажите, что выражение (а + b)(a + b — 2) + 1 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_didakt7 var2/139 715

Преобразуем выражение:

$$
(a+b)(a+b-2)+1
$$

Раскроем скобки:

$$
(a+b)(a+b-2)+1=a^2+ab-2a+ab+b^2-2b+1
$$

Соберём подобные слагаемые:

$$
a^2+2ab+b^2-2a-2b+1
$$

Представим выражение в виде квадрата суммы:

$$
a^2+2ab+b^2-2a-2b+1=(a+b)^2-2(a+b)+1
$$

Тогда

$$
(a+b)^2-2(a+b)+1=(a+b-1)^2
$$

Квадрат любого числа неотрицателен, значит

$$
(a+b-1)^2\ge 0
$$

при любых значениях переменных.

Ответ

$$
(a+b)(a+b-2)+1=(a+b-1)^2\ge 0
$$