Упр.108 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 108. Докажите, что значение выражения (n — 1)(n + 1) — (n — 1)(n + 3) кратно 4 при всех натуральных значениях n. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_didakt7 var2/108 715

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$
(n-1)(n+1)-(n-1)(n+3)
$$
$$
= (n^2-1)-(n^2+2n-3)
$$
$$
= n^2-1-n^2-2n+3
$$
$$
= -2n+2
$$

Получили:

$$
-2n+2=2(1-n)
$$

Это выражение всегда делится на $$2$$, но не обязательно на $$4$$ при всех натуральных $$n$$. Значит, в приведённой записи задания, вероятно, есть опечатка.

Если же в условии имелось в виду выражение из изображения:

$$
(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3),
$$
то тогда:

$$
(n-1)(n+1)-(n-7)(n+3)
$$
$$
= (n^2-1)-(n^2-4n-21)
$$
$$
= 4n+20
$$
$$
= 4(n+5),
$$

а значит, выражение кратно $$4$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

Если дано $$ (n-1)(n+1)-(n-7)(n+3) $$, то выражение равно $$4(n+5)$$ и кратно $$4$$.