Контрольная работа 8 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

2. Разложите на множители:
1) 36m^2 n^3 — 49m^4 n; 2) 50 + 20x + 2x^2.
3. График функции у = kx + b пересекает оси координат в точках А (2; 0) и В (0; -4). Найдите значения k и b.
4. Решите систему уравнений
{(3x-y=17, 2x+3y=-7).
5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и четвёртого из этих чисел на 31 больше произведения первого и третьего.
6. Решите уравнение х^2 + у^2 — 8х + 12у + 52 = 0.

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   $$
   (7a+2b)^2-(3a-b)(4a+5b)=49a^2+28ab+4b^2-(12a^2+15ab-4ab-5b^2)
   $$

   $$
   =49a^2+28ab+4b^2-12a^2-11ab+5b^2=37a^2+17ab+9b^2
   $$

2. 1) Вынесем общий множитель:

   $$
   36m^2n^3-49m^4n=m^2n(36n^2-49m^2)
   $$

   Разность квадратов:

   $$
   36n^2-49m^2=(6n-7m)(6n+7m)
   $$

   Значит,

   $$
   36m^2n^3-49m^4n=m^2n(6n-7m)(6n+7m)
   $$

   2) Вынесем общий множитель и представим трёхчлен как квадрат суммы:

   $$
   50+20x+2x^2=2(x^2+10x+25)=2(x+5)^2
   $$

3. Для прямой $$y=kx+b$$ подставим координаты точки $$B(0;-4)$$:

   $$
   -4=k\cdot 0+b
   $$

   $$
   b=-4
   $$

   Теперь подставим координаты точки $$A(2;0)$$:

   $$
   0=2k-4
   $$

   $$
   2k=4,\quad k=2
   $$

4. Решим систему:

   $$
   \begin{cases}
   3x-y=17,\\
   2x+3y=-7
   \end{cases}
   $$

   Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$
   \begin{cases}
   9x-3y=51,\\
   2x+3y=-7
   \end{cases}
   $$

   Сложим уравнения:

   $$
   11x=44,\quad x=4
   $$

   Подставим в первое уравнение:

   $$
   3\cdot 4-y=17
   $$

   $$
   12-y=17,\quad y=-5
   $$

5. Пусть четыре последовательных натуральных числа: $$n-1,\ n,\ n+1,\ n+2$$.

   По условию:

   $$
   n(n+2)=(n-1)(n+1)+31
   $$

   $$
   n^2+2n=n^2-1+31
   $$

   $$
   2n=30,\quad n=15
   $$

   Тогда числа:

   $$
   14,\ 15,\ 16,\ 17
   $$

6. Приведём уравнение к виду суммы квадратов:

   $$
   x^2+y^2-8x+12y+52=0
   $$

   $$
   x^2-8x+16+y^2+12y+36=0
   $$

   $$
   (x-4)^2+(y+6)^2=0
   $$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$
   x-4=0,\quad y+6=0
   $$

   $$
   x=4,\quad y=-6
   $$

Ответ

1) $$37a^2+17ab+9b^2$$; 2) $$m^2n(6n-7m)(6n+7m)$$, $$2(x+5)^2$$; 3) $$k=2,\ b=-4$$; 4) $$(4;\,-5)$$; 5) $$14,\ 15,\ 16,\ 17$$; 6) $$(4;\,-6)$$.