Контрольная работа 8 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

2. Разложите на множители:
1) 25x^3 y^2 — 4xy^4; 2) 45 — 30а + 5а^2.
3. График функции у = kx + b пересекает оси координат в точках A (0; 4) и В (-2; 0). Найдите значения k и b.
4. Решите систему уравнений
{(4x+y=-10, 5x-2y=-19).
5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из этих чисел на 34 больше произведения первого и второго.
6. Решите уравнение х^2 + у^2 + 10х + 6у + 34 = 0.

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   $$
   (4x-3y)^2-(2x+y)(3x-5y)=16x^2-24xy+9y^2-(6x^2-10xy+3xy-5y^2)
   $$

   $$
   =16x^2-24xy+9y^2-6x^2+7xy+5y^2=10x^2-17xy+14y^2.
   $$

2. 1) Вынесем общий множитель:

   $$
   25x^3y^2-4xy^4=xy^2(25x^2-4y^2).
   $$

   Разность квадратов:

   $$
   25x^2-4y^2=(5x-2y)(5x+2y).
   $$

   Итак,

   $$
   25x^3y^2-4xy^4=xy^2(5x-2y)(5x+2y).
   $$

   2) Вынесем 5 за скобки и разложим квадратный трёхчлен:

   $$
   45-30a+5a^2=5(a^2-6a+9)=5(a-3)^2.
   $$

3. Подставим координаты точки $$A(0;4)$$ в формулу $$y=kx+b$$:

   $$
   4=0\cdot k+b \Rightarrow b=4.
   $$

   Подставим координаты точки $$B(-2;0)$$:

   $$
   0=-2k+4 \Rightarrow 2k=4 \Rightarrow k=2.
   $$

4. Решим систему:

   $$
   \begin{cases}
   4x+y=-10,\\
   5x-2y=-19.
   \end{cases}
   $$

   Умножим первое уравнение на 2:

   $$
   \begin{cases}
   8x+2y=-20,\\
   5x-2y=-19.
   \end{cases}
   $$

   Сложим уравнения:

   $$
   13x=-39 \Rightarrow x=-3.
   $$

   Подставим в первое уравнение:

   $$
   4(-3)+y=-10 \Rightarrow y=2.
   $$

5. Пусть четыре последовательных натуральных числа — это $$n-1, n, n+1, n+2$$.

   По условию:

   $$
   (n+1)(n+2)=n(n-1)+34.
   $$

   Раскроем скобки:

   $$
   n^2+3n+2=n^2-n+34
   $$

   $$
   4n=32 \Rightarrow n=8.
   $$

   Тогда числа:

   $$
   7,\ 8,\ 9,\ 10.
   $$

6. Преобразуем уравнение к виду суммы квадратов:

   $$
   x^2+y^2+10x+6y+34=0
   $$

   $$
   x^2+10x+25+y^2+6y+9=0
   $$

   $$
   (x+5)^2+(y+3)^2=0.
   $$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$
   x+5=0,\quad y+3=0.
   $$

   Следовательно,

   $$
   x=-5,\quad y=-3.
   $$

Ответ

1) $$10x^2-17xy+14y^2$$; 2) $$xy^2(5x-2y)(5x+2y)$$, $$5(a-3)^2$$; 3) $$k=2,\ b=4$$; 4) $$(-3;\ 2)$$; 5) $$7,\ 8,\ 9,\ 10$$; 6) $$(-5;\ -3)$$.