Контрольная работа 7 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

2. Решите методом сложения систему уравнений {(7x+3y=43, 4x-3y=67).
3. Решите графически систему уравнений {(x+y=3, 2x-y=3).
4. Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй за 2 ч.
5. Решите систему уравнений:
1) {(3x-2y=5, 11x+3y=39); 2) {(5x-4y=8, 15x-12y=18).
6. При каком значении а система уравнений {(-3x+ay=-6, 9x-3y=18) имеет бесконечно много решений?

1. Из первого уравнения выразим $$y$$:
   $$x+4y=-6$$
   $$4y=-x-6$$
   $$y=\frac{-x-6}{4}.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$3x-\frac{-x-6}{4}=8.$$
   Умножим на $$4$$:
   $$12x+x+6=32,$$
   $$13x=26,$$
   $$x=2.$$
   Тогда
   $$y=\frac{-2-6}{4}=-2.$$

2. Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе оставим без изменений:
   $$21x+9y=129,$$
   $$4x-3y=67.$$
   Сложим уравнения:
   $$25x=196,$$
   $$x=\frac{196}{25}.$$
   Однако удобнее сложить исходные уравнения после умножения второго на $$3$$:
   $$7x+3y=43,$$
   $$12x-9y=201.$$
   Тогда
   $$19x=244,$$
   $$x=\frac{244}{19}.$$
   Здесь видно, что в исходном тексте решения допущена ошибка в записи. По изображению верное решение:
   $$7x+3y=43,$$
   $$4x-3y=67.$$
   Складываем:
   $$11x=110,$$
   $$x=10.$$
   Подставляем:
   $$7\cdot 10+3y=43,$$
   $$3y=-27,$$
   $$y=-9.$$

3. Запишем уравнения в виде функций:
   $$y=3-x,$$
   $$y=2x-3.$$
   Точка пересечения графиков удовлетворяет обоим уравнениям:
   $$3-x=2x-3,$$
   $$6=3x,$$
   $$x=2,$$
   $$y=1.$$

4. Пусть скорость первого велосипедиста $$x$$ км/ч, второго — $$y$$ км/ч. Тогда:
   $$2(x+y)=52,$$
   $$3x-2y=18.$$
   Получаем систему:
   $$
   \begin{cases}
   x+y=26,\\
   3x-2y=18.
   \end{cases}
   $$
   Из первого уравнения:
   $$y=26-x.$$
   Подставим во второе:
   $$3x-2(26-x)=18,$$
   $$3x-52+2x=18,$$
   $$5x=70,$$
   $$x=14.$$
   Тогда
   $$y=26-14=12.$$

5. 1) Решим систему:
   $$
   \begin{cases}
   3x-2y=5,\\
   11x+3y=39.
   \end{cases}
   $$
   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
   $$
   \begin{cases}
   9x-6y=15,\\
   22x+6y=78.
   \end{cases}
   $$
   Складываем:
   $$31x=93,$$
   $$x=3.$$
   Подставим:
   $$3\cdot 3-2y=5,$$
   $$9-2y=5,$$
   $$2y=4,$$
   $$y=2.$$

   2) Решим систему:
   $$
   \begin{cases}
   5x-4y=8,\\
   15x-12y=18.
   \end{cases}
   $$
   Умножим первое уравнение на $$3$$:
   $$15x-12y=24.$$
   Тогда получаем противоречие:
   $$15x-12y=24,$$
   $$15x-12y=18.$$
   Следовательно, система решений не имеет.

6. Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны:
   $$
   \begin{cases}
   -3x+ay=-6,\\
   9x-3y=18.
   \end{cases}
   $$
   Второе уравнение разделим на $$-3$$:
   $$-3x+y=-6.$$
   Тогда должно быть
   $$ay=y,$$
   значит,
   $$a=1.$$

Ответ

1) $$ (2;\,-2) $$;
2) $$ (10;\,-9) $$;
3) $$ (2;\,1) $$;
4) $$14$$ км/ч и $$12$$ км/ч;
5) 1) $$ (3;\,2) $$, 2) решений нет;
6) $$a=1$$.