Контрольная работа 7 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

{(x-3y=8, 2x-y=6).
2. Решите методом сложения систему уравнений
{(4x-5y=-83, 2x+5y=29).
3. Решите графически систему уравнений {(x-y=5, x+2y=-1).
4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч.
5. Решите систему уравнений:
1) {(7x+5y=19, 4x-3y=5); 2) {(3x-2y=6, 12x-8y=20).
6. При каком значении а система уравнений
{(4x+7y=6, ax-14y=-12) имеет бесконечно много решений?

1. Решим систему методом подстановки:

   $$
   \begin{cases}
   x-3y=8,\\
   2x-y=6.
   \end{cases}
   $$

   Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=8+3y.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$
   2(8+3y)-y=6
   $$
   $$
   16+6y-y=6
   $$
   $$
   5y=-10
   $$
   $$
   y=-2.
   $$

   Тогда

   $$x=8+3\cdot(-2)=2.$$

2. Решим систему методом сложения:

   $$
   \begin{cases}
   4x-5y=-83,\\
   2x+5y=29.
   \end{cases}
   $$

   Сложим уравнения:

   $$
   6x=-54
   $$
   $$
   x=-9.
   $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$
   2(-9)+5y=29
   $$
   $$
   -18+5y=29
   $$
   $$
   5y=47
   $$
   $$
   y=9{,}4.
   $$

3. Запишем уравнения в виде функций:

   $$
   \begin{cases}
   x-y=5,\\
   x+2y=-1.
   \end{cases}
   $$

   $$
   y=x-5,
   $$
   $$
   2y=-x-1,
   $$
   $$
   y=-0{,}5x-0{,}5.
   $$

   Точка пересечения графиков: $$\left(3;\,-2\right).$$

4. Пусть скорость первого пешехода равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.

   Тогда по условию:

   $$
   \begin{cases}
   2(x+y)=20,\\
   4x-3y=12.
   \end{cases}
   $$

   Получаем:

   $$
   x+y=10,
   $$
   $$
   x=10-y.
   $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$
   4(10-y)-3y=12
   $$
   $$
   40-7y=12
   $$
   $$
   -7y=-28
   $$
   $$
   y=4.
   $$

   Тогда

   $$x=10-4=6.$$

5. 1) Решим систему:

   $$
   \begin{cases}
   7x+5y=19,\\
   4x-3y=5.
   \end{cases}
   $$

   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$5$$:

   $$
   \begin{cases}
   21x+15y=57,\\
   20x-15y=25.
   \end{cases}
   $$

   Сложим уравнения:

   $$
   41x=82
   $$
   $$
   x=2.
   $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$
   4\cdot2-3y=5
   $$
   $$
   8-3y=5
   $$
   $$
   y=1.
   $$

   2) Решим систему:

   $$
   \begin{cases}
   3x-2y=6,\\
   12x-8y=20.
   \end{cases}
   $$

   Умножим первое уравнение на $$4$$:

   $$
   12x-8y=24.
   $$

   Получаем противоречие:

   $$
   12x-8y=24,\qquad 12x-8y=20.
   $$

   Значит, система решений не имеет.

6. Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть пропорционально первому:

   $$
   \begin{cases}
   4x+7y=6,\\
   ax-14y=-12.
   \end{cases}
   $$

   Умножим первое уравнение на $$-2$$:

   $$
   -8x-14y=-12.
   $$

   Сравнивая с вторым уравнением, получаем:

   $$a=-8.$$

Ответ

1) $$\left(2;\,-2\right)$$; 2) $$\left(-9;\,9{,}4\right)$$; 3) $$\left(3;\,-2\right)$$; 4) $$6$$ км/ч и $$4$$ км/ч; 5) 1) $$\left(2;\,1\right)$$, 2) решений нет; 6) $$a=-8$$.