Контрольная работа 5 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) b^3 — 8c^3; 4) 5ab — 15b — 5a + 15;
2) 49x^2 y — y^3; 5) a^4 — 1.
3) -7а^2 + 14а — 7;
2. Упростите выражение (3а + 1)(9а^2 — 3а + 1) и найдите его значение при а = 1/3.
3. Разложите на множители:
1) а + b + а^2 — b^2; 3) х^3 y^2 — х^3 — ху^2 + х;
2) 9а^2 — 6ab + b^2 — 16; 4) 1 — х^2 + 4ху — 4у^2.
4. Решите уравнение:
1) 2х^3 — 50х = 0; 3) х^3 + 2х^2 — 36х — 72 = 0.
2) 16x^3 + 8х^2 + х = 0;
5. Докажите, что значение выражения 3^9 — 4^3 делится на цело на 23.
6. Известно, что а — b = 7, ab = -4. Найдите значение вы ражения (а + b)^2.

1. Разложим на множители:

   $$b^3-8c^3=(b-2c)(b^2+2bc+4c^2)$$

   $$49x^2y-y^3=y(49x^2-y^2)=y(7x-y)(7x+y)$$

   $$-7a^2+14a-7=-7(a^2-2a+1)=-7(a-1)^2$$

   $$5ab-15b-5a+15=5b(a-3)-5(a-3)=(a-3)(5b-5)=5(a-3)(b-1)$$

   $$a^4-1=(a^2-1)(a^2+1)=(a-1)(a+1)(a^2+1)$$

2. $$\begin{aligned}
   (3a+1)(9a^2-3a+1)&=27a^3+1
   \end{aligned}$$

   При $$a=\frac13$$:

   $$27\left(\frac13\right)^3+1=27\cdot\frac1{27}+1=2$$

3. Разложим на множители:

   $$a+b+a^2-b^2=(a+b)+(a^2-b^2)=(a+b)+(a-b)(a+b)=(a+b)(1+a-b)$$

   $$9a^2-6ab+b^2-16=(3a-b)^2-4^2=(3a-b-4)(3a-b+4)$$

   $$\begin{aligned}
   x^3y^2-x^3-xy^2+x&=x^3(y^2-1)-x(y^2-1)\\
   &=(y^2-1)(x^3-x)\\
   &=x(y^2-1)(x^2-1)\\
   &=x(y-1)(y+1)(x-1)(x+1)
   \end{aligned}$$

   $$\begin{aligned}
   1-x^2+4xy-4y^2&=1-(x^2-4xy+4y^2)\\
   &=1-(x-2y)^2\\
   &=(1-x+2y)(1+x-2y)
   \end{aligned}$$

4. Решим уравнения:

   $$\begin{aligned}
   2x^3-50x&=0\\
   2x(x^2-25)&=0\\
   2x(x-5)(x+5)&=0
   \end{aligned}$$

   $$x=0,\; x=5,\; x=-5$$

   $$\begin{aligned}
   16x^3+8x^2+x&=0\\
   x(16x^2+8x+1)&=0\\
   x(4x+1)^2&=0
   \end{aligned}$$

   $$x=0,\; x=-\frac14$$

   $$\begin{aligned}
   x^3+2x^2-36x-72&=0\\
   x^2(x+2)-36(x+2)&=0\\
   (x+2)(x^2-36)&=0\\
   (x+2)(x-6)(x+6)&=0
   \end{aligned}$$

   $$x=-2,\; x=6,\; x=-6$$

5. $$\begin{aligned}
   3^9-4^3&=(3^3)^3-4^3\\
   &=(3^3-4)(3^6+3^3\cdot4+4^2)\\
   &=(27-4)(3^6+3^3\cdot4+4^2)\\
   &=23\cdot(3^6+3^3\cdot4+4^2)
   \end{aligned}$$

   Значит, число делится на $$23$$.

6. $$\begin{aligned}
   (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\
   &=(a-b)^2+4ab
   \end{aligned}$$

   $$ (a+b)^2=7^2+4\cdot(-4)=49-16=33 $$

Ответ

1) $$b^3-8c^3=(b-2c)(b^2+2bc+4c^2)$$; $$49x^2y-y^3=y(7x-y)(7x+y)$$; $$-7a^2+14a-7=-7(a-1)^2$$; $$5ab-15b-5a+15=5(a-3)(b-1)$$; $$a^4-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)$$.
2) $$2$$.
3) $$a+b+a^2-b^2=(a+b)(1+a-b)$$; $$9a^2-6ab+b^2-16=(3a-b-4)(3a-b+4)$$; $$x^3y^2-x^3-xy^2+x=x(y-1)(y+1)(x-1)(x+1)$$; $$1-x^2+4xy-4y^2=(1-x+2y)(1+x-2y)$$.
4) $$x=0,\; \pm5$$; $$x=0,\; -\frac14$$; $$x=-2,\; \pm6$$.
5) Делится на $$23$$.
6) $$33$$.