Контрольная работа 5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) m^3 + 27n^3; 4) 2аb + 10b — 2а — 10;
2) х^3 — 64ху^2; 5) а^4 — 16.
3) -3а^2 + 18а — 27;
2. Упростите выражение (2а — 1)(4а^2 + 2а + 1) и найдите его значение при а = -1/2.
3. Разложите на множители:
1) х^2 — у^2 + х — у; 3) ас^4 — с^4 — ас^2 + с^2;
2) 4х^2 — 4ху + у^2 — 9; 4) 4 — m^2 + 2mn — n^2.
4. Решите уравнение:
1) 6x^3 — 24x = 0; 3) x^3 — 4x^2 — 9x + 36 = 0.
2) 25x^3 — 10x^2 + х = 0;
5. Докажите, что значение выражения 2^12 + 5^3 делится нацело на 21.
6. Известно, что а + b = 5, ab = -2. Найдите значение выражения (а — b)^2.

1. Разложим на множители:

   $$m^3+27n^3=(m+3n)(m^2-3mn+9n^2)$$
   $$x^3-64xy^2=x(x^2-64y^2)=x(x-8y)(x+8y)$$
   $$-3a^2+18a-27=-3(a^2-6a+9)=-3(a-3)^2$$
   $$2ab+10b-2a-10=2b(a+5)-2(a+5)=(a+5)(2b-2)=2(a+5)(b-1)$$
   $$a^4-16=(a^2-4)(a^2+4)=(a-2)(a+2)(a^2+4)$$

2. Упростим выражение:

   $$(2a-1)(4a^2+2a+1)=8a^3-1$$

   При $$a=-\frac12$$ получаем:

   $$8\left(-\frac12\right)^3-1=8\cdot\left(-\frac18\right)-1=-1-1=-2$$

3. Разложим на множители:

   $$x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)$$
   $$4x^2-4xy+y^2-9=(2x-y)^2-3^2=(2x-y-3)(2x-y+3)$$
   $$ac^4-c^4-ac^2+c^2=c^4(a-1)-c^2(a-1)=(a-1)(c^4-c^2)$$
   $$=(a-1)c^2(c^2-1)=c^2(a-1)(c-1)(c+1)$$
   $$4-m^2+2mn-n^2=4-(m^2-2mn+n^2)=4-(m-n)^2$$
   $$=(2-(m-n))(2+(m-n))=(2-m+n)(2+m-n)$$

4. Решим уравнения:

   $$6x^3-24x=0$$
   $$6x(x^2-4)=0$$
   $$6x(x-2)(x+2)=0$$
   $$x=0,\; x=2,\; x=-2$$

   $$25x^3-10x^2+x=0$$
   $$x(25x^2-10x+1)=0$$
   $$x(5x-1)^2=0$$
   $$x=0,\; x=\frac15$$

   $$x^3-4x^2-9x+36=0$$
   $$x^2(x-4)-9(x-4)=0$$
   $$(x-4)(x^2-9)=0$$
   $$(x-4)(x-3)(x+3)=0$$
   $$x=4,\; x=3,\; x=-3$$

5. Докажем делимость:

   $$2^{12}+5^3=(2^4)^3+5^3$$
   $$=(2^4+5)(2^8-2^4\cdot 5+5^2)$$
   $$=21\cdot(2^8-2^4\cdot 5+5^2)$$

   Следовательно, выражение делится нацело на $$21$$.

6. Найдём значение выражения:

   $$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$$
   $$=5^2-4\cdot(-2)=25+8=33$$

Ответ

1) $$m^3+27n^3=(m+3n)(m^2-3mn+9n^2)$$, $$x^3-64xy^2=x(x-8y)(x+8y)$$, $$-3a^2+18a-27=-3(a-3)^2$$, $$2ab+10b-2a-10=2(a+5)(b-1)$$, $$a^4-16=(a-2)(a+2)(a^2+4)$$;
2) $$8a^3-1$$, при $$a=-\frac12$$ значение равно $$-2$$;
3) $$x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y+1)$$, $$4x^2-4xy+y^2-9=(2x-y-3)(2x-y+3)$$, $$ac^4-c^4-ac^2+c^2=c^2(a-1)(c-1)(c+1)$$, $$4-m^2+2mn-n^2=(2-m+n)(2+m-n)$$;
4) $$x=0,\;2,\;-2$$; $$x=0,\;\frac15$$; $$x=4,\;3,\;-3$$;
5) делится на $$21$$;
6) $$33$$.