Контрольная работа 4 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (а + 7)^2; 3) (m — 6)(m + 6);
2) (3х — 4y)^2; 4) (5а + 8b)(8b — 5а).
2. Разложите на множители:
1) а^2 — 9; 3) 25x^2 — 16;
2) b^2 + 10b + 25; 4) 9x^2 — 12ху + 4у^2.
3. Упростите выражение (х — 1)^2 — (х + 3)(х — 3).
4. Решите уравнение:
(2у — 3)(3у + 1) + 2(у — 5)(y + 5) = 2(1 — 2y)^2 + 6у.
5. Представьте в виде произведения выражение (6а — 7)^2 — (4а — 2)^2.
6. Упростите выражение (а + 1 )(а — 1 )(а^2 + 1) — (9 + а^2)^2 и найдите его значение при а = 1/3.
7. Докажите, что выражение x^2 — 4х + 5 принимает положительные значения при всех значениях х.

1. Используем формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов:

   $$
   (a+7)^2=a^2+14a+49
   $$

   $$
   (3x-4y)^2=9x^2-24xy+16y^2
   $$

   $$
   (m-6)(m+6)=m^2-36
   $$

   $$
   (5a+8b)(8b-5a)=(8b+5a)(8b-5a)=64b^2-25a^2
   $$

2. Разложим на множители по формулам сокращённого умножения:

   $$
   a^2-9=(a-3)(a+3)
   $$

   $$
   b^2+10b+25=(b+5)^2
   $$

   $$
   25x^2-16=(5x-4)(5x+4)
   $$

   $$
   9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2
   $$

3. Упростим выражение:

   $$
   (x-1)^2-(x+3)(x-3)=x^2-2x+1-(x^2-9)
   $$

   $$
   =x^2-2x+1-x^2+9=-2x+10
   $$

4. Решим уравнение:

   $$
   (2y-3)(3y+1)+2(y-5)(y+5)=2(1-2y)^2+6y
   $$

   $$
   6y^2+2y-9y-3+2(y^2-25)=2(1-4y+4y^2)+6y
   $$

   $$
   8y^2-7y-53=8y^2-2y+2
   $$

   $$
   -7y+2y=2+53
   $$

   $$
   -5y=55
   $$

   $$
   y=-11
   $$

5. Представим выражение в виде произведения:

   $$
   (6a-7)^2-(4a-2)^2=((6a-7)-(4a-2))((6a-7)+(4a-2))
   $$

   $$
   =(2a-5)(10a-9)
   $$

6. Упростим выражение и найдём его значение при $$a=\frac13$$:

   $$
   (a+1)(a-1)(a^2+1)-(9+a^2)^2
   $$

   $$
   =(a^2-1)(a^2+1)-(81+18a^2+a^4)
   $$

   $$
   =a^4-1-81-18a^2-a^4=-18a^2-82
   $$

   Подставим $$a=\frac13$$:

   $$
   -18\left(\frac13\right)^2-82=-18\cdot\frac19-82=-2-82=-84
   $$

7. Докажем, что выражение всегда положительно:

   $$
   x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1
   $$

   Так как $$ (x-2)^2\ge 0 $$, то

   $$
   (x-2)^2+1>0
   $$

   при всех значениях $$x$$.

Ответ

1. $$a^2+14a+49$$; $$9x^2-24xy+16y^2$$; $$m^2-36$$; $$64b^2-25a^2$$.
2. $$a^2-9=(a-3)(a+3)$$; $$b^2+10b+25=(b+5)^2$$; $$25x^2-16=(5x-4)(5x+4)$$; $$9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$$.
3. $$-2x+10$$.
4. $$y=-11$$.
5. $$ (2a-5)(10a-9) $$.
6. $$-84$$.
7. $$x^2-4x+5>0$$ при всех $$x$$.