Упр.99 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) (МГУ, физ. ф-т) $$18x — 9^{x+1} — 2^{x+2} + 36 = 0$$

а)

$$18^x-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$

$$18^x=(9\cdot 2)^x=9^x\cdot 2^x,\qquad 9^{x+1}=9^x\cdot 9,\qquad 2^{x+2}=2^x\cdot 4$$

$$9^x\cdot 2^x-9^x\cdot 9-2^x\cdot 4+36=0$$

$$9^x(2^x-9)-4(2^x-9)=0$$

$$\bigl(9^x-4\bigr)\bigl(2^x-9\bigr)=0$$

Отсюда:

$$9^x=4 \quad \text{или} \quad 2^x=9$$

$$x=\log_9 4=\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}$$

$$x=\log_2 9=2\log_2 3$$

б)

$$\log_{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}\sqrt{x}+\log_{\sqrt{x}}(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)=\frac32+\log_x(2\sqrt6)$$

Обозначим
$$a=\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5.$$
Тогда
$$a^2=(\sqrt2+\sqrt3)^2+5+2\sqrt5(\sqrt2+\sqrt3)=2\sqrt6,$$
значит
$$2\sqrt6=a^2.$$

Также
$$\log_{\sqrt{x}}a=\frac{1}{\log_a\sqrt{x}}=\frac{2}{\log_x a}.$$
Удобно ввести замену
$$y=\log_x a.$$
Тогда
$$\log_a\sqrt{x}=\frac{1}{y},\qquad \log_{\sqrt{x}}a=\frac{2}{y},\qquad \log_x(2\sqrt6)=\log_x a^2=2y.$$

Получаем уравнение
$$\frac{1}{y}+\frac{2}{y}=\frac32+2y,$$
то есть
$$\frac{3}{y}=\frac32+2y.$$
Умножим на $$2y$$:
$$6=3y+4y^2,$$
$$4y^2+3y-6=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-6)=105,$$
$$y=\frac{-3\pm\sqrt{105}}{8}.$$

Так как $$y=\log_x a,$$ то
$$x=a^{1/y}.$$
Следовательно,
$$x=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\right)^{\frac{8}{-3+\sqrt{105}}} \quad \text{или} \quad x=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\right)^{\frac{8}{-3-\sqrt{105}}}.$$

Ответ

а) $$x=2\log_2 3,\ \log_3 2$$

б) $$x=\left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\right)^{\frac{8}{-3+\sqrt{105}}},\ \left(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5\right)^{\frac{8}{-3-\sqrt{105}}}$$