Упр.97 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) log2(182)- 41og4(корень (5- х)) = log2(11 — х) + 1;
в) logx (корень 3) — log^2 (корень 3) = log3(27) — logx(3х).

Подробный ответ

а) $$4\log_9(x-2)+\log_3(x-4)^2=0$$
Так как $$\log_9(x-2)=\frac{1}{2}\log_3(x-2),$$ то
$$2\log_3(x-2)+\log_3(x-4)^2=0.$$
Поскольку $$\log_3(x-4)^2=2\log_3|x-4|,$$ получаем
$$2\log_3(x-2)+2\log_3|x-4|=0,$$
$$\log_3(x-2)+\log_3|x-4|=0,$$
$$\log_3\bigl((x-2)|x-4|\bigr)=0,$$
$$ (x-2)|x-4|=1.$$
Область определения: $$x>2.$$
Рассмотрим случаи:
1) при $$x>4$$ имеем $$|x-4|=x-4,$$ тогда
$$ (x-2)(x-4)=1,$$
$$x^2-6x+7=0,$$
$$x=3\pm\sqrt2.$$
Из условия $$x>4$$ подходит только $$x=3+\sqrt2.$$
2) при $$2<x<4$$ имеем $$|x-4|=4-x,$$ тогда
$$ (x-2)(4-x)=1,$$
$$x^2-6x+9=0,$$
$$x=3,$$
и это значение подходит.
б) $$\log_2 182-4\log_4\sqrt{5-x}=\log_2(11-x)+1$$
Преобразуем:
$$4\log_4\sqrt{5-x}=2\log_2\sqrt{5-x}=\log_2(5-x).$$
Тогда
$$\log_2 182-\log_2(5-x)=\log_2(11-x)+1.$$
Так как $$1=\log_2 2,$$ получаем
$$\log_2\frac{182}{5-x}=\log_2\bigl(2(11-x)\bigr).$$
Область определения: $$5-x>0,\;11-x>0,$$ то есть $$x<5.$$
Тогда
$$\frac{182}{5-x}=2(11-x),$$
$$182=(5-x)(22-2x),$$
$$x^2-16x-36=0,$$
$$x=18 \text{ или } x=-2.$$
С учётом $$x<5$$ подходит только $$x=-2.$$
в) $$\log_x\sqrt3-\log_x^2\sqrt3=\log_3 27-\log_x(3x)$$
Область определения: $$x>0,\;x\ne1.$$
Так как $$\log_3 27=3,$$ а $$\log_x(3x)=\log_x3+\log_xx=\log_x3+1,$$ то
$$\log_x\sqrt3-\log_x^2\sqrt3=2-\log_x3.$$
Положим $$t=\log_x\sqrt3.$$ Тогда
$$\log_x3=2t,$$
и уравнение принимает вид
$$t-t^2=2-2t,$$
$$t^2-3t+2=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=2.$$
1) $$\log_x\sqrt3=1 \Rightarrow x=\sqrt3.$$
2) $$\log_x\sqrt3=2 \Rightarrow x^2=\sqrt3 \Rightarrow x=\sqrt[4]{3}.$$