Упр.96 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) log27/11 log5(x2 — 2х — 3) = 0;
в) log3/7 log6(x2 — 2х — 3) = 0;
г) log8/3 log1/2 (х2 — х — 5) = 0.

1. а) $$\log_3\log_{\frac{9}{16}}(x^2-4x+3)=0$$

   Тогда

   $$\log_{\frac{9}{16}}(x^2-4x+3)=1,$$

   откуда

   $$x^2-4x+3=\frac{9}{16}.$$

   Решим уравнение:

   $$16x^2-64x+39=0.$$

   $$D=64^2-4\cdot 16\cdot 39=1600,$$

   $$x_{1,2}=\frac{64\pm 40}{32}.$$

   $$x_1=\frac34,\qquad x_2=\frac{13}{4}.$$

   Оба корня удовлетворяют области определения: $$x^2-4x+3>0.$$

2. б) $$\log_{\frac{27}{11}}\log_5(x^2-2x-3)=0$$

   Тогда

   $$\log_5(x^2-2x-3)=1,$$

   значит

   $$x^2-2x-3=5.$$

   Получаем

   $$x^2-2x-8=0,$$

   $$x=-2,\;4.$$

   Проверим ОДЗ: $$x^2-2x-3>0 \iff x<-1 \text{ или } x>3.$$

   Подходит только $$x=-2.$$

3. в) $$\log_{\frac{3}{7}}\log_6(x^2-2x-3)=0$$

   Тогда

   $$\log_6(x^2-2x-3)=1,$$

   следовательно

   $$x^2-2x-3=6.$$

   Имеем

   $$x^2-2x-9=0,$$

   $$x_{1,2}=1\pm \sqrt{10}.$$

   Проверка ОДЗ: $$x^2-2x-3>0 \iff x<-1 \text{ или } x>3.$$

   Оба корня подходят.

4. г) $$\log_{\frac{8}{3}}\log_{\frac12}(x^2-x-5)=0$$

   Тогда

   $$\log_{\frac12}(x^2-x-5)=1,$$

   значит

   $$x^2-x-5=\frac12.$$

   Получаем

   $$2x^2-2x-11=0.$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(-11)=92,$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{92}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{23}}{2}.$$

   Проверка ОДЗ: $$x^2-x-5>0.$$ Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ

а) $$x=\frac34,\;\frac{13}{4}$$; б) $$x=-2$$; в) $$x=1\pm \sqrt{10}$$; г) $$x=\frac{1\pm \sqrt{23}}{2}$$.