Упр.94 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. $$2^{2x+1}\cdot 3^x=2\cdot 12^{4-x}$$

   Представим левую часть как произведение степеней с основанием $$2$$ и $$3$$:

   $$2^{2x+1}\cdot 3^x=2\cdot 2^{2x}\cdot 3^x=2\cdot 4^x\cdot 3^x=2\cdot 12^x$$

   Тогда

   $$2\cdot 12^x=2\cdot 12^{4-x}$$

   $$12^x=12^{4-x}$$

   Так как основания равны и больше нуля, то приравниваем показатели:

   $$x=4-x$$

   $$2x=4$$

   $$x=2$$

2. $$2^{2x-1}\cdot 3^x=0{,}5\cdot 12^{4-x}$$

   Преобразуем:

   $$2^{2x-1}\cdot 3^x=\frac12\cdot 2^{2x}\cdot 3^x=\frac12\cdot 4^x\cdot 3^x=\frac12\cdot 12^x$$

   Тогда

   $$\frac12\cdot 12^x=\frac12\cdot 12^{4-x}$$

   $$12^x=12^{4-x}$$

   Следовательно,

   $$x=4-x$$

   $$2x=4$$

   $$x=2$$

3. $$9\cdot \left(\frac53\right)^{2x^2}-18\cdot \left(\frac53\right)^{x^2}+9=0$$

   Сделаем замену:

   $$t=\left(\frac53\right)^{x^2}$$

   Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$9t^2-18t+9=0$$

   $$t^2-2t+1=0$$

   $$\left(t-1\right)^2=0$$

   $$t=1$$

   Возвращаемся к замене:

   $$\left(\frac53\right)^{x^2}=1$$

   Так как основание $$\frac53>0$$ и $$\frac53\ne 1$$, то

   $$x^2=0$$

   $$x=0$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=2$$; в) $$x=0$$.