Упр.92 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

92. Решите уравнение.

1. $$3^{9x+10}=3^{6x-2}$$

   Так как основания равны и $$3>0,\;3\ne 1,$$ приравниваем показатели:

   $$9x+10=6x-2$$

   $$3x=-12$$

   $$x=-4$$

2. $$7^{x^2-3x+1}=7^{-1}$$

   Приравниваем показатели:

   $$x^2-3x+1=-1$$

   $$x^2-3x+2=0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=2$$

3. $$5^{3x+1}=25^{x-1}$$

   Представим $$25$$ как $$5^2$$:

   $$5^{3x+1}=5^{2(x-1)}$$

   Приравниваем показатели:

   $$3x+1=2(x-1)$$

   $$3x+1=2x-2$$

   $$x=-3$$

4. $$4^{2x}=16^{2x+5}$$

   Представим основания как степени числа $$2$$:

   $$\left(2^2\right)^{2x}=\left(2^4\right)^{2x+5}$$

   $$2^{4x}=2^{8x+20}$$

   Приравниваем показатели:

   $$4x=8x+20$$

   $$-4x=20$$

   $$x=-5$$

5. $$3^{2x}=27^{x+6}$$

   Представим $$27$$ как $$3^3$$:

   $$3^{2x}=3^{3(x+6)}$$

   Приравниваем показатели:

   $$2x=3(x+6)$$

   $$2x=3x+18$$

   $$-x=18$$

   $$x=-18$$

6. $$3^{9x+1}=9^{3x-1}$$

   Представим $$9$$ как $$3^2$$:

   $$3^{9x+1}=3^{2(3x-1)}$$

   Приравниваем показатели:

   $$9x+1=2(3x-1)$$

   $$9x+1=6x-2$$

   $$3x=-3$$

   $$x=-1$$

7. $$4^{-x+1}=8^x$$

   Представим основания как степени числа $$2$$:

   $$2^{2(-x+1)}=2^{3x}$$

   Приравниваем показатели:

   $$2(-x+1)=3x$$

   $$-2x+2=3x$$

   $$5x=2$$

   $$x=\frac{2}{5}$$

8. $$64^{x+1}=8^{4\sqrt{x}}$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Представим основания как степени числа $$2$$:

   $$\left(2^6\right)^{x+1}=\left(2^3\right)^{4\sqrt{x}}$$

   $$2^{6(x+1)}=2^{12\sqrt{x}}$$

   Приравниваем показатели:

   $$6(x+1)=12\sqrt{x}$$

   $$x+1=2\sqrt{x}$$

   Сделаем замену: $$\sqrt{x}=t,\; t\ge 0$$. Тогда

   $$t^2+1=2t$$

   $$t^2-2t+1=0$$

   $$\left(t-1\right)^2=0$$

   $$t=1$$

   $$\sqrt{x}=1$$

   $$x=1$$

Ответ

а) $$x=-4$$; б) $$x=1,\,2$$; в) $$x=-3$$; г) $$x=-5$$; д) $$x=-18$$; е) $$x=-1$$; ж) $$x=\frac{2}{5}$$; з) $$x=1$$.