Упр.91 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) (МГУ, псих. ф-т). корень (х + 2) + корень (8 — х) = корень 15;
в) (МГУ, хим. ф-т). корень (4х — х2) + корень (4х — х2 — 3) = 3 + корень (2х — х2).
$$\sqrt{5-x^2}=1-x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$1-x\ge 0,$$ значит $$x\le 1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5-x^2=(1-x)^2$$
$$5-x^2=1-2x+x^2$$
$$2x^2-2x-4=0$$
$$x^2-x-2=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=-1$$
С учётом условия $$x\le 1$$ подходит только $$x=-1.$$
$$\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x}=\sqrt{15}$$
Область определения:
$$x+2\ge 0,\quad 8-x\ge 0,$$
$$x\in[-2;8].$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{8-x}\right)^2=15$$
$$x+2+8-x+2\sqrt{(x+2)(8-x)}=15$$
$$2\sqrt{(x+2)(8-x)}=5$$
$$4(x+2)(8-x)=25$$
$$4(8x-x^2+16-2x)=25$$
$$4x^2-24x-39=0$$
$$D=(-24)^2-4\cdot 4\cdot(-39)=576+624=1200=400\cdot 3$$
$$x_{1,2}=\frac{24\pm 20\sqrt{3}}{8}=\frac{6\pm 5\sqrt{3}}{2}$$
Оба корня принадлежат отрезку $$[-2;8]$$ и удовлетворяют исходному уравнению.
$$\sqrt{4x-x^2}+\sqrt{4x-x^2-3}=3+\sqrt{2x-x^2}$$
Область определения:
$$4x-x^2\ge 0,\quad 4x-x^2-3\ge 0,\quad 2x-x^2\ge 0.$$
Отсюда:
$$x\in[0;4],\quad x\in[1;3],\quad x\in[0;2],$$
значит $$x\in[1;2].$$
Преобразуем выражения под корнями:
$$4x-x^2=4-(2-x)^2,$$
$$4x-x^2-3=1-(2-x)^2,$$
$$2x-x^2=1-(x-1)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{4-(2-x)^2}+\sqrt{1-(2-x)^2}=3+\sqrt{1-(x-1)^2}.$$
Левая часть не больше $$3,$$ а правая не меньше $$3.$$
Равенство возможно только при
$$\sqrt{4-(2-x)^2}=2,\quad \sqrt{1-(2-x)^2}=1,\quad \sqrt{1-(x-1)^2}=0.$$
Это выполняется при $$x=2.$$
Ответ
а) $$x=-1$$; б) $$x=\frac{6-5\sqrt{3}}{2},\ \frac{6+5\sqrt{3}}{2}$$; в) $$x=2$$.
