Упр.90 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

118. а) $$\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x+5}=\sqrt[3]{30-x}$$;
     б) $$\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}=\sqrt[3]{31-2x}$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x+5}=\sqrt[3]{30-x}.$$

Функция $$\varphi(x)=\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x+5}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$ как сумма двух возрастающих функций, а функция $$g(x)=\sqrt[3]{30-x}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверим число $$x=3$$:

$$\sqrt[3]{3-2}+\sqrt[3]{3+5}=\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{8}=1+2=3,$$

$$\sqrt[3]{30-3}=\sqrt[3]{27}=3.$$

Значит, $$x=3$$ — решение уравнения.

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}=\sqrt[3]{31-2x}.$$

Функция $$\varphi(x)=\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{2x+4}$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\sqrt[3]{31-2x}$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверим число $$x=2$$:

$$\sqrt[3]{2-1}+\sqrt[3]{2\cdot 2+4}=\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{8}=1+2=3,$$

$$\sqrt[3]{31-2\cdot 2}=\sqrt[3]{27}=3.$$

Значит, $$x=2$$ — решение уравнения.

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=2$$.