Упр.9.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.8* Докажите справедливость утверждений 1—4.

Подробный ответ

Докажем утверждение 1.
Если $$x_0$$ — решение уравнения $$\sqrt[2m]{f(x)}=g(x),$$ то обязательно $$g(x_0)\ge 0$$ и
$$\sqrt[2m]{f(x_0)}=g(x_0).$$
Возведём обе части в степень $$2m$$:
$$f(x_0)=\bigl(g(x_0)\bigr)^{2m}.$$
Значит, $$x_0$$ удовлетворяет системе
$$ \begin{cases} f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2m},\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$
Обратно, если $$x_1$$ — решение этой системы, то $$g(x_1)\ge 0$$ и
$$f(x_1)=\bigl(g(x_1)\bigr)^{2m},$$
откуда
$$\sqrt[2m]{f(x_1)}=\lvert g(x_1)\rvert=g(x_1).$$
Следовательно, $$x_1$$ — решение уравнения $$\sqrt[2m]{f(x)}=g(x).$$
Итак, уравнение и система равносильны.
Докажем утверждение 2.
Если $$x_0$$ — решение уравнения $$\sqrt[2m]{f(x)}=\sqrt[2m]{g(x)},$$ то обе части неотрицательны, и после возведения в степень $$2m$$ получаем
$$f(x_0)=g(x_0).$$
Кроме того, должны выполняться условия существования корней:
$$f(x_0)\ge 0,\qquad g(x_0)\ge 0.$$
Значит, $$x_0$$ удовлетворяет системе
$$ \begin{cases} f(x)=g(x),\\ f(x)\ge 0,\\ g(x)\ge 0. \end{cases} $$
Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет этой системе, то из $$f(x_1)=g(x_1)$$ и неотрицательности обеих частей следует
$$\sqrt[2m]{f(x_1)}=\sqrt[2m]{g(x_1)}.$$
Следовательно, уравнение и система равносильны.
Докажем утверждение 3.
Если $$x_0$$ — решение уравнения $$\log_a f(x)=\log_a g(x),$$ где $$a>0,\ a\ne 1,$$ то по свойству логарифмов и его однозначности получаем
$$f(x_0)=g(x_0).$$
При этом должны выполняться условия существования логарифмов:
$$f(x_0)>0,\qquad g(x_0)>0.$$
Значит, $$x_0$$ удовлетворяет системе
$$ \begin{cases} f(x)=g(x),\\ f(x)>0,\\ g(x)>0. \end{cases} $$
Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет этой системе, то из равенства положительных чисел следует
$$\log_a f(x_1)=\log_a g(x_1).$$
Следовательно, уравнение и система равносильны.
Докажем утверждение 4.
Если $$x_0$$ — решение уравнения $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0,$$ то
$$f(x_0)=0,$$
и при этом $$x_0\in D(\varphi).$$
Значит, $$x_0$$ удовлетворяет системе
$$ \begin{cases} f(x)=0,\\ x\in D(\varphi). \end{cases} $$
Обратно, если $$x_1$$ удовлетворяет этой системе, то
$$f(x_1)=0,\qquad x_1\in D(\varphi),$$
и потому
$$f(x_1)+\varphi(x_1)-\varphi(x_1)=0.$$
Следовательно, уравнение и система равносильны.