Упр.9 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Докажите, что число:

1. $$\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$;
2. $$\sqrt{9-4\sqrt{5}}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}$$

является целым, и найдите это число.

а) Преобразуем подкоренные выражения к квадратам двучленов:

$$\sqrt{7-4\sqrt3}+\sqrt{4-2\sqrt3} = \sqrt{(2-\sqrt3)^2}+\sqrt{(\sqrt3-1)^2}$$

$$=|2-\sqrt3|+|\sqrt3-1|$$

Так как $$2-\sqrt3>0$$ и $$\sqrt3-1>0$$, то

$$|2-\sqrt3|=2-\sqrt3,\qquad |\sqrt3-1|=\sqrt3-1.$$

$$2-\sqrt3+\sqrt3-1=1.$$

б) Аналогично:

$$\sqrt{9-4\sqrt5}+\sqrt{14-6\sqrt5} = \sqrt{(\sqrt5-2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt5)^2}$$

$$=|\sqrt5-2|+|3-\sqrt5|$$

Так как $$\sqrt5-2>0$$ и $$3-\sqrt5>0$$, получаем

$$|\sqrt5-2|=\sqrt5-2,\qquad |3-\sqrt5|=3-\sqrt5.$$

$$\sqrt5-2+3-\sqrt5=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.