Упр.9.72 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.72

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$f(u)=\sqrt{u}+\lg u.$$ Она определена при $$u>0$$ и возрастает, значит неравенство равносильно системе
$$ \begin{cases} \log_2 \dfrac{x-1}{x} < \log_2 \dfrac{1}{x},\\ \log_2 \dfrac{x-1}{x} > 0,\\ \log_2 \dfrac{1}{x} > 1. \end{cases} $$
Так как основание логарифма больше 1, получаем
$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{x} < \dfrac{1}{x},\\ \dfrac{x-1}{x} > 1,\\ \dfrac{1}{x} > 2. \end{cases} $$
Из второго неравенства $$x<0$$, из третьего $$0<x<\dfrac12$$. Эти условия несовместны.
Следовательно, решений нет.
б) Функция $$f(u)=\sqrt{u}+\log_3 7\cdot \dfrac{u}{\log_3 7}$$ также возрастает при $$u\ge 0$$, поэтому неравенство равносильно системе
$$ \begin{cases} \log_3 \dfrac{3}{x} > \log_3 \dfrac{5-2x}{x},\\ \log_3 \dfrac{3}{x} \ge 0,\\ \log_3 \dfrac{5-2x}{x} \ge 0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} \dfrac{3}{x} > \dfrac{5-2x}{x},\\ \dfrac{3}{x} \ge 1,\\ \dfrac{5-2x}{x} \ge 1. \end{cases} $$
Получаем
$$ \begin{cases} 2x>2,\\ x\in(0;3],\\ x\in(0;\dfrac53]. \end{cases} $$
Отсюда
$$ x\in\left(1;\dfrac53\right]. $$
в) Функция $$f(u)=\sqrt[4]{u}+\log_7 u+3^{u/4}$$ определена при $$u>0$$ и возрастает, значит неравенство равносильно системе
$$ \begin{cases} 3x-2 > -2x+3,\\ 3x-2 > 0,\\ -2x+3 > 0. \end{cases} $$
Решаем:
$$ \begin{cases} 5x>5,\\ x>\dfrac23,\\ x<\dfrac32. \end{cases} $$
Следовательно,
$$ x\in\left(1;\dfrac32\right). $$