Упр.9.71 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 9.71

Рассмотрим функцию $$f(u)=\sqrt{u}+10^u.$$ На области определения $$u\in[0;+\infty)$$ она возрастает, так как обе функции $$\sqrt{u}$$ и $$10^u$$ возрастают.

Значит, исходное неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} \log_2(x-3)<\log_2(x^2-3x),\\ \log_2(x-3)\ge 0,\\ \log_2(x^2-3x)\ge 0. \end{cases} $$

Так как основание логарифма $$2>1$$, получаем:

$$ \begin{cases} x-3<x^2-3x,\\ x-3\ge 1,\\ x^2-3x\ge 1. \end{cases} $$

Преобразуем неравенства:

$$ \begin{cases} x^2-4x+3>0,\\ x\ge 4,\\ x^2-3x-1\ge 0. \end{cases} $$

Первое неравенство даёт:

$$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty). $$

Второе условие уже даёт $$x\in[4;+\infty)$$, а третье при этом выполняется автоматически, так как при $$x\ge 4$$ имеем $$x^2-3x-1>0$$.

Пересечение всех условий:

$$ x\in[4;+\infty). $$

Ответ

$$x\in[4;+\infty).$$