Упр.9.70 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
9.70 a) arcsin(x2 — 2x) < arcsin(x2 + x - 1);
б) arccos (x-1)/2 < arccos (x2 - 4x + 3);
в) arctg (2x2 + 1) > arctg (2×2 — x);
г) arcctg (x-2)/2 > arcctg (4-x)/2.
а) Функция $$f(u)=\arcsin u$$ возрастает на $$[-1;1]$$, поэтому
$$ \arcsin(x^2-2x)<\arcsin(x^2+x-1) $$
равносильно системе
$$ \begin{cases} x^2-2x<x^2+x-1,\\ -1\le x^2-2x\le 1,\\ -1\le x^2+x-1\le 1. \end{cases} $$
Из первого неравенства получаем
$$ 3x>1,\quad x>\frac13. $$
Из остальных условий:
$$ -1\le x^2-2x\le 1 \;\Rightarrow\; x\in[-2;-1]\cup[0;1], $$
$$ -1\le x^2+x-1\le 1 \;\Rightarrow\; x\in[1-\sqrt2;1+\sqrt2]. $$
Пересечение всех условий:
$$ x\in\left(\frac13;1\right]. $$
б) Функция $$f(u)=\arccos u$$ убывает на $$[-1;1]$$, значит
$$ \arccos\frac{x-1}{2}<\arccos(x^2-4x+3) $$
равносильно системе
$$ \begin{cases} \dfrac{x-1}{2}>x^2-4x+3,\\ -1\le \dfrac{x-1}{2}\le 1,\\ -1\le x^2-4x+3\le 1. \end{cases} $$
Преобразуем:
$$ 2x^2-9x+7<0, $$
$$ x\in[-1;3], $$
$$ x\in[2-\sqrt2;2+\sqrt2]. $$
Тогда
$$ x\in(1;\tfrac72)\cap[-1;3]\cap[2-\sqrt2;2+\sqrt2]=(1;3]. $$
в) Функция $$f(u)=\arctg u$$ возрастает на всей числовой прямой, поэтому
$$ \arctg(2x^2+1)>\arctg(2x^2-x) $$
равносильно неравенству
$$ 2x^2+1>2x^2-x. $$
Отсюда
$$ x>-1. $$
г) Функция $$f(u)=\operatorname{arcctg}u$$ убывает на всей числовой прямой, значит
$$ \operatorname{arcctg}\frac{x-2}{2}>\operatorname{arcctg}\frac{4-x}{2} $$
равносильно неравенству
$$ \frac{x-2}{2}<\frac{4-x}{2}. $$
Тогда
$$ x-2<4-x,\quad 2x<6,\quad x<3. $$
Ответ
а) $$x\in\left(\frac13;1\right]$$; б) $$x\in(1;3]$$; в) $$x\in(-1;+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;3)$$.
