Упр.9.69 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что равносильны неравенства: а) $$\operatorname{arctg} f(x)>\operatorname{arctg} g(x)$$ и $$f(x)>g(x)$$; б) $$\operatorname{arcctg} f(x)>\operatorname{arcctg} g(x)$$ и $$f(x)

а) Функция $$y=\arctg x$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и возрастает на всей числовой прямой. Поэтому для любых $$f(x)$$ и $$g(x)$$ неравенство

$$\arctg f(x)>\arctg g(x)$$

равносильно неравенству

$$f(x)>g(x).$$

б) Функция $$y=\operatorname{arcctg} x$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и убывает на всей числовой прямой. Значит, неравенство

$$\operatorname{arcctg} f(x)>\operatorname{arcctg} g(x)$$

равносильно противоположному неравенству

$$f(x)

Ответ

а) $$\arctg f(x)>\arctg g(x)\iff f(x)>g(x).$$

б) $$\operatorname{arcctg} f(x)>\operatorname{arcctg} g(x)\iff f(x)